\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\begin{document}
\title{Math\'ematiques}
\author{Serge Vaudenay}
\date{3 novembre 1998}
\maketitle

\section{Quelques Formules}
On a
\[ \sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}. \]
Par exemple, $1+2+\ldots+10=55$.
Cette formule sert dans de nombreuses s\'eries.
Par exemple, la somme des premiers \'el\'ements d'une suite arithm\'etique
se calcule par cette formule.

Voici une autre formule {\huge remarquable}:
\[ e^{2i\pi}=1. \]

\section{Th\'eor\`eme Central Limite}
\subsection{Pr\'eambule}
La fonction de distribution d'une variable al\'eatoire $X$ est la fonction qui
\`a $x$ associe $iF(x)=\Pr[X<x]$.

L'esp\'erance est
\[ E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xF'(x)dx. \]

L'\'ecart-type est
\[ \sigma=\sqrt{E(X^2)-E(X)^2}. \]

\subsection{Enonc\'e}
{\bf Th\'eor\`eme.}
\begin{it}
Soient $(X_n)_{n\geq 0}$ une suite de variables
al\'eatoires ind\'ependantes et de m\^eme loi d'esp\'erance $\mu$ et
d'\'ecart-type $\sigma$.
On a
\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}
\Pr\left[\frac{X_1+\ldots+X_n-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}<\tau\right]=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\tau}e^{-\frac{t^2}{2}}dt. \]
\end{it}

\end{document}